Questão 6

Determine quantas sêxtuplas ordenadas de números naturais $(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6)$ satisfazem o sistema
$$\begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + 3x_6 = 30, \\ x_1 + 2x_2 + 2x_3 + 2x_4 + 2x_5 + 4x_6 = 52, \\ 2x_1 + 2x_2 + 3x_3 + 3x_4 + 3x_5 + 7x_6 = 76. \end{cases}$$

Pela convenção da prova, $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}$: cada $x_i$ é um inteiro maior ou igual a $1$. A ideia é reduzir o sistema por combinações lineares até isolar o que cada variável pode valer, e então contar as soluções inteiras positivas por estrelas e barras.

Redução do sistema: chamando as equações de (I), (II) e (III), nesta ordem,
$$\text{(II)} - \text{(I)}: \quad x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 22 \qquad \text{(IV)}$$
$$\text{(III)} - \text{(II)}: \quad x_1 + x_3 + x_4 + x_5 + 3x_6 = 24 \qquad \text{(V)}$$
$$\text{(I)} - \text{(V)}: \quad x_2 = 6$$
Levando $x_2 = 6$ em (IV),
$$x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 16 \quad\Rightarrow\quad x_3 + x_4 + x_5 = 16 - x_6$$
e levando esta soma em (V),
$$x_1 + (16 - x_6) + 3x_6 = 24 \quad\Rightarrow\quad x_1 + 2x_6 = 8$$

O sistema é equivalente a
$$x_2 = 6, \qquad x_1 + 2x_6 = 8, \qquad x_3 + x_4 + x_5 = 16 - x_6$$

Valores das variáveis isoladas: de $x_1 = 8 - 2x_6 \ge 1$ e $x_6 \ge 1$, vem $x_6 \in \{1, 2, 3\}$, com $x_1 = 6$, $4$ e $2$, respectivamente. Para cada $x_6$ o par $(x_1, x_2)$ fica determinado.

Contagem das três variáveis restantes: o número de soluções inteiras positivas de $x_3 + x_4 + x_5 = m$ é o número de maneiras de separar $m$ unidades em fila com $2$ barras colocadas nos $m - 1$ espaços entre elas, $\dbinom{m-1}{2}$.

Para $x_6 = 1$: $m = 15$ e $\dbinom{14}{2} = 91$.

Para $x_6 = 2$: $m = 14$ e $\dbinom{13}{2} = 78$.

Para $x_6 = 3$: $m = 13$ e $\dbinom{12}{2} = 66$.

Total: somando os três casos,
$$91 + 78 + 66 = 235$$

Resposta: $235$ sêxtuplas