Questão 10

Considere a função $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ dada por
$$f(x) = \sqrt{1 + \cos(2x)} + \sqrt{1 - \cos(2x)} - \sen(x) - \cos(x).$$

Determine todos os números inteiros $k$ tais que a equação $f(x) = k$ possua pelo menos uma solução real $x$ pertencente ao primeiro ou ao terceiro quadrante do círculo trigonométrico.

Arco duplo: de $\cos(2x) = 2\cos^2 x - 1 = 1 - 2\sen^2 x$,
$$\sqrt{1 + \cos(2x)} = \sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2}\,|\cos x| \qquad\qquad \sqrt{1 - \cos(2x)} = \sqrt{2\sen^2 x} = \sqrt{2}\,|\sen x|$$
$$f(x) = \sqrt{2}\,|\cos x| + \sqrt{2}\,|\sen x| - \sen x - \cos x$$

Um ponto do círculo trigonométrico pertence a um quadrante quando não está sobre os eixos; assim, no primeiro e no terceiro quadrantes $\sen x$ e $\cos x$ são não nulos e têm o mesmo sinal.

Primeiro quadrante: $\sen x > 0$ e $\cos x > 0$, logo os módulos desaparecem e
$$f(x) = (\sqrt{2} - 1)(\sen x + \cos x)$$

Terceiro quadrante: $\sen x < 0$ e $\cos x < 0$, logo $|\sen x| = -\sen x$, $|\cos x| = -\cos x$ e
$$f(x) = -(\sqrt{2} + 1)(\sen x + \cos x)$$

Imagem de sen mais cos em cada quadrante: pela soma de arcos,
$$\sen x + \cos x = \sqrt{2}\left(\sen x\cos\frac{\pi}{4} + \cos x\sen\frac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2}\,\sen\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$$

No primeiro quadrante, $x \in \left(0,\,\dfrac{\pi}{2}\right)$ a menos de múltiplos de $2\pi$, logo $x + \dfrac{\pi}{4} \in \left(\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{3\pi}{4}\right)$ e $\sen\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ percorre $\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2},\,1\right]$:
$$\sen x + \cos x \in (1,\,\sqrt{2}\,]$$

No terceiro quadrante, $x \in \left(\pi,\,\dfrac{3\pi}{2}\right)$ a menos de múltiplos de $2\pi$, logo $x + \dfrac{\pi}{4} \in \left(\dfrac{5\pi}{4},\,\dfrac{7\pi}{4}\right)$ e $\sen\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)$ percorre $\left[-1,\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$:
$$\sen x + \cos x \in [-\sqrt{2},\,-1)$$

Imagem de f em cada quadrante: multiplicando pelos fatores constantes positivos, no primeiro quadrante
$$f(x) \in \left(\sqrt{2} - 1,\ \sqrt{2}(\sqrt{2}-1)\right] = \left(\sqrt{2} - 1,\ 2 - \sqrt{2}\,\right]$$
e no terceiro quadrante
$$f(x) \in \left(\sqrt{2} + 1,\ \sqrt{2}(\sqrt{2}+1)\right] = \left(\sqrt{2} + 1,\ 2 + \sqrt{2}\,\right]$$

Como $\sqrt{2} \approx 1{,}414$, o primeiro intervalo é aproximadamente $(0{,}414;\ 0{,}586]$, que não contém inteiro, e o segundo é aproximadamente $(2{,}414;\ 3{,}414]$, que contém apenas o inteiro $3$. A equação $f(x) = 3$ tem solução no terceiro quadrante porque $f$ assume todos os valores de $\left(\sqrt{2}+1,\,2+\sqrt{2}\,\right]$ nesse quadrante: basta $\sen\!\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{3}{\sqrt{2}(\sqrt{2}+1)} = -\dfrac{3\sqrt{2} - 3}{2} \approx -0{,}879$, valor que está em $\left[-1,\,-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)$.

Resposta: $k = 3$