Questão 3

Seja $r$ um número real positivo. No plano complexo, considere o polígono cujos vértices são as oito raízes da equação $r + iz^8 = 0$. Sabendo que a área desse polígono é $\sqrt{2}$, determine o comprimento de seus lados e o valor de $r$.

Forma trigonométrica: de $r + iz^8 = 0$, com $\dfrac{1}{i} = -i$,
$$z^8 = -\frac{r}{i} = -r\cdot(-i) = r\,i = r\left(\cos\frac{\pi}{2} + i\,\sen\frac{\pi}{2}\right)$$

As oito raízes: como $r > 0$, o módulo de $ri$ é $r$ e seu argumento é $\dfrac{\pi}{2}$, logo
$$z_k = r^{1/8}\left[\cos\left(\frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}\right) + i\,\sen\left(\frac{\pi}{16} + \frac{k\pi}{4}\right)\right], \qquad k = 0, 1, \dots, 7$$
Todas têm o mesmo módulo $R = r^{1/8}$ e argumentos consecutivos separados por $\dfrac{2\pi}{8} = \dfrac{\pi}{4}$: os afixos são os vértices de um octógono regular inscrito na circunferência de centro na origem e raio $R$, com o primeiro vértice no argumento $\dfrac{\pi}{16}$.

Área do octógono regular: os segmentos da origem aos vértices dividem o octógono em $8$ triângulos isósceles de lados $R$, $R$ e ângulo central $\dfrac{\pi}{4}$. Pela fórmula da área com dois lados e o ângulo entre eles,
$$A = 8\cdot\frac{1}{2}\,R^2\,\sen\frac{\pi}{4} = 4R^2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}\,R^2$$

Determinação do raio e de r: da condição $A = \sqrt{2}$,
$$2\sqrt{2}\,R^2 = \sqrt{2} \quad\Longrightarrow\quad R^2 = \frac{1}{2} \quad\Longrightarrow\quad R = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Como $R = r^{1/8}$,
$$r = R^8 = \left(R^2\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16}$$

Comprimento do lado: pela lei dos cossenos no triângulo $O z_0 z_1$, com $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$,
$$\ell^2 = R^2 + R^2 - 2R^2\cos\frac{\pi}{4} = R^2\left(2 - \sqrt{2}\right) = \frac{2 - \sqrt{2}}{2}$$
$$\ell = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}{2}$$

Resposta: Lado $\ell = \sqrt{\dfrac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \dfrac{\sqrt{4 - 2\sqrt{2}}}{2}$ e $r = \dfrac{1}{16}$