Questão 2

Determine todos os valores $x \in \mathbb{R}$ tais que $\left|\log_2\left(2^x + 2\right)\right| > |2x|$.

Eliminando os módulos pela análise de sinal e, em seguida, usando que $\log_2$ é crescente, trocando cada desigualdade logarítmica por uma desigualdade entre potências de base $2$:
$$\log_2 A > \log_2 B \quad\Longleftrightarrow\quad A > B \qquad (A, B > 0)$$

Domínio e sinal do primeiro módulo: $2^x > 0$ para todo $x$ real, logo $2^x + 2 > 2$ e o logaritmo está definido em todo $\mathbb{R}$. Como $\log_2$ é crescente,
$$\log_2\left(2^x + 2\right) > \log_2 2 = 1 > 0$$
Assim $\left|\log_2\left(2^x + 2\right)\right| = \log_2\left(2^x + 2\right)$, e a inequação fica
$$\log_2\left(2^x + 2\right) > |2x|$$

Graficamente, a solução é o conjunto dos $x$ em que a curva $y = \log_2(2^x + 2)$ fica acima de $y = |2x|$:

Caso de x maior ou igual a zero: $|2x| = 2x = \log_2 4^x$, e a inequação equivale a
$$\log_2\left(2^x + 2\right) > \log_2 4^x \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x + 2 > 4^x$$
Com $t = 2^x > 0$ e $4^x = t^2$,
$$t^2 - t - 2 < 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (t - 2)(t + 1) < 0$$
Como $t + 1 > 0$, a desigualdade equivale a $t < 2$, isto é, $2^x < 2$, ou seja, $x < 1$. Com a restrição do caso: $0 \leq x < 1$.

Caso de x negativo: $|2x| = -2x = \log_2 2^{-2x}$, e a inequação equivale a
$$\log_2\left(2^x + 2\right) > \log_2 2^{-2x} \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x + 2 > 2^{-2x}$$
Com $t = 2^x > 0$ e $2^{-2x} = \dfrac{1}{t^2}$, multiplicando por $t^2 > 0$,
$$t^3 + 2t^2 > 1 \quad\Longleftrightarrow\quad t^3 + 2t^2 - 1 > 0$$
O valor $t = -1$ anula o polinômio, e a divisão por $t + 1$ fornece
$$(t + 1)\left(t^2 + t - 1\right) > 0$$
Como $t + 1 > 0$, resta $t^2 + t - 1 > 0$. As raízes de $t^2 + t - 1 = 0$ são $t = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}$; a raiz negativa fica fora de $t > 0$, de modo que a condição é
$$t > \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad 2^x > \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad x > \log_2\frac{\sqrt{5} - 1}{2} = \log_2\left(\sqrt{5} - 1\right) - 1$$
Como $0 < \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2} < 1$, esse limite $x_1 = \log_2\left(\sqrt{5} - 1\right) - 1$ é negativo (aproximadamente $-0{,}69$), compatível com a restrição do caso: $x_1 < x < 0$.

Conjunto solução: reunindo os dois casos,
$$\log_2\left(\sqrt{5} - 1\right) - 1 < x < 1$$

Resposta: $x \in \left(\log_2\left(\sqrt{5} - 1\right) - 1,\ 1\right)$, isto é, $\log_2\dfrac{\sqrt{5}-1}{2} < x < 1$