Questão 1

Descreva todas as progressões aritméticas de $10$ números naturais cuja soma resulte em $435$.

Para o primeiro termo $a$, razão $d$ e $10$ termos,
$$S_{10} = \frac{(a_1 + a_{10})\cdot 10}{2} = 5\,(2a + 9d)$$

Condições sobre os termos: a prova adota $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$, logo os dez termos $a,\ a+d,\ \dots,\ a+9d$ são inteiros maiores ou iguais a $1$. Como $d = a_2 - a_1$ é diferença de dois naturais, a razão $d$ é um inteiro (positivo, negativo ou nulo).

Equação da soma: de $S_{10} = 435$,
$$5\,(2a + 9d) = 435 \quad\Longrightarrow\quad 2a + 9d = 87$$

Paridade: $9d = 87 - 2a$ é ímpar, logo $d$ é ímpar; em particular $d \neq 0$. Isolando o primeiro termo,
$$a = \frac{87 - 9d}{2}$$

Caso de razão positiva: o menor termo é $a$, e a condição $a \geq 1$ dá
$$\frac{87 - 9d}{2} \geq 1 \quad\Longrightarrow\quad 9d \leq 85 \quad\Longrightarrow\quad d \leq 9$$
Com $d$ ímpar positivo: $d \in \{1, 3, 5, 7, 9\}$, que fornecem $a = 39,\ 30,\ 21,\ 12,\ 3$.

Caso de razão negativa: o menor termo é $a + 9d$, e a condição $a + 9d \geq 1$ dá
$$\frac{87 - 9d}{2} + 9d = \frac{87 + 9d}{2} \geq 1 \quad\Longrightarrow\quad 9d \geq -85 \quad\Longrightarrow\quad d \geq -9$$
Com $d$ ímpar negativo: $d \in \{-1, -3, -5, -7, -9\}$, que fornecem $a = 48,\ 57,\ 66,\ 75,\ 84$. Estas são as cinco progressões anteriores percorridas na ordem inversa.

As progressões:
$$d = 1:\ (39,\ 40,\ 41,\ \dots,\ 48) \qquad d = -1:\ (48,\ 47,\ 46,\ \dots,\ 39)$$
$$d = 3:\ (30,\ 33,\ 36,\ \dots,\ 57) \qquad d = -3:\ (57,\ 54,\ 51,\ \dots,\ 30)$$
$$d = 5:\ (21,\ 26,\ 31,\ \dots,\ 66) \qquad d = -5:\ (66,\ 61,\ 56,\ \dots,\ 21)$$
$$d = 7:\ (12,\ 19,\ 26,\ \dots,\ 75) \qquad d = -7:\ (75,\ 68,\ 61,\ \dots,\ 12)$$
$$d = 9:\ (3,\ 12,\ 21,\ \dots,\ 84) \qquad d = -9:\ (84,\ 75,\ 66,\ \dots,\ 3)$$

Resposta: As dez PAs com $a_1 = \dfrac{87 - 9d}{2}$ e $d \in \{\pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 7, \pm 9\}$: $(39, 40, \dots, 48)$, $(30, 33, \dots, 57)$, $(21, 26, \dots, 66)$, $(12, 19, \dots, 75)$, $(3, 12, \dots, 84)$ e as cinco decrescentes obtidas invertendo a ordem dessas