Questão 8

Considere um retângulo $ABCD$ cujos lados medem $m(\overline{AB}) = 10$ e $m(\overline{BC}) = 6$. Um retângulo $EFGH$ é inscrito em $ABCD$, com $E$ pertencente ao lado $\overline{AB}$ e distinto de $A$ e $B$, e $F$ pertencente ao lado $\overline{BC}$ e distinto de $B$ e $C$.

a) Se $x$ representa a distância do ponto $A$ ao ponto $E$, determine os possíveis valores de $x$.

b) Se a área de $EFGH$ é $30$, determine as medidas de seus lados.

Como $EFGH$ é inscrito em $ABCD$, cada vértice de $EFGH$ está sobre um lado de $ABCD$: $G$ pertence a $\overline{CD}$ e $H$ pertence a $\overline{DA}$. Sejam $AE = x$, $BF = y$ e $AH = h$, com $0 < x < 10$, $0 < y < 6$ e $0 < h < 6$.

Triângulos dos cantos: seja $\theta = \angle BEF$. No vértice $E$, $\angle AEH + 90^\circ + \theta = 180^\circ$, logo $\angle AEH = 90^\circ - \theta$ e, no triângulo retângulo $AEH$, $\angle AHE = \theta$. O mesmo raciocínio em $F$, $G$ e $H$ mostra que os quatro triângulos dos cantos são retângulos com um ângulo agudo igual a $\theta$, portanto são semelhantes entre si. Além disso, $FCG$ e $HAE$ têm hipotenusas iguais ($FG = HE$), logo são congruentes e $FC = AH = h$, $CG = AE = x$; do mesmo modo, $GDH$ e $EBF$ são congruentes ($GH = EF$), logo $DH = BF = y$ e $DG = BE = 10 - x$.

Como $BF + FC = 6$, obtém-se
$$y + h = 6$$

a) Da semelhança entre $AEH$ e $BFE$ (ângulo $\theta$ em $H$ e em $E$, respectivamente),
$$\frac{AE}{BF} = \frac{AH}{BE} \quad\Longrightarrow\quad \frac{x}{y} = \frac{h}{10-x} \quad\Longrightarrow\quad hy = x(10-x)$$

Com $h = 6 - y$, o número $y$ satisfaz
$$y(6-y) = x(10-x) \quad\Longleftrightarrow\quad y^2 - 6y + x(10-x) = 0$$

Para existir $y$ real, o discriminante deve ser não negativo:
$$36 - 4x(10-x) \geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^2 - 10x + 9 \geq 0 \quad\Longleftrightarrow\quad (x-1)(x-9) \geq 0$$
$$x \leq 1 \quad\text{ou}\quad x \geq 9$$

Reciprocamente, para $0 < x \leq 1$ ou $9 \leq x < 10$, as raízes
$$y = 3 \pm \sqrt{9 - x(10-x)}$$
satisfazem $0 < y < 6$, pois $0 \leq 9 - x(10-x) < 9$ (já que $x(10-x) > 0$). Então $h = 6 - y$ também está em $(0,\,6)$, os pontos $H$ e $G$ caem no interior dos lados $\overline{DA}$ e $\overline{CD}$, e $EFGH$ é de fato um retângulo. Logo,
$$x \in (0,\,1] \cup [9,\,10)$$

b) A área de $EFGH$ é a área de $ABCD$ menos a dos quatro triângulos dos cantos, que são congruentes dois a dois:
$$[EFGH] = 60 - 2\cdot\frac{xh}{2} - 2\cdot\frac{(10-x)\,y}{2} = 60 - xh - (10-x)\,y$$

Impondo $[EFGH] = 30$ e substituindo $h = 6 - y$,
$$x(6-y) + (10-x)\,y = 30 \quad\Longrightarrow\quad 6x + 10y - 2xy = 30 \quad\Longrightarrow\quad xy - 3x - 5y + 15 = 0$$
$$(x-5)(y-3) = 0$$

O valor $x = 5$ não pertence a $(0,\,1] \cup [9,\,10)$, logo $y = 3$, $h = 3$ e, de $hy = x(10-x)$,
$$x(10-x) = 9 \quad\Longrightarrow\quad x = 1 \quad\text{ou}\quad x = 9$$

Os lados de $EFGH$ são as hipotenusas dos triângulos $EBF$ e $AEH$:
$$EF = \sqrt{(10-x)^2 + y^2} \qquad\qquad EH = \sqrt{x^2 + h^2}$$

Para $x = 1$: $EF = \sqrt{81 + 9} = 3\sqrt{10}$ e $EH = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10}$. Para $x = 9$: $EF = \sqrt{10}$ e $EH = 3\sqrt{10}$. Nos dois casos o retângulo tem lados $\sqrt{10}$ e $3\sqrt{10}$.

Resposta: a) $x \in (0,\,1] \cup [9,\,10)$; b) $\sqrt{10}$ e $3\sqrt{10}$