Questão 5

Seja $ABC$ um triângulo no plano cartesiano com vértices na elipse de equação $2x^2 + y^2 = 6$. Sabendo que os vértices $A$ e $B$ têm abscissa $1$ e que o perímetro de $ABC$ é $10$, determine a abscissa do vértice $C$.

A elipse dada: dividindo por $6$,
$$\frac{x^2}{3} + \frac{y^2}{6} = 1$$
com $a^2 = 6$ e $b^2 = 3$, eixo maior sobre o eixo $y$ e $c^2 = a^2 - b^2 = 3$; os focos são $F_1 = (0, \sqrt{3})$ e $F_2 = (0, -\sqrt{3})$.

Os vértices A e B: com $x = 1$,
$$2 \cdot 1 + y^2 = 6 \quad\Rightarrow\quad y = \pm 2$$ logo $A = (1, 2)$, $B = (1, -2)$ e $m(AB) = 4$.

Condição do perímetro: de $m(CA) + m(CB) + m(AB) = 10$,
$$m(CA) + m(CB) = 6$$

Seja $$C=(x_c,y_c)$$

Portanto, temos:

Elevando ao quadro e simplificando, temos:

Elevando ao quadro e simplificando, temos:

Porém, como C pertence à elipse:

Substituindo, temos:

Portanto, temos:

Porém, todo ponto da elipse tem abscissa entre $\sqrt{3}$ e $-\sqrt{3}$. Dessa forma, temos uma única solução possível.

Resposta: $x_C = 5\sqrt{3} - 9$