Questão 4

Considere o polinômio $p(x) = x^7 + 3ax^6 - x^5 - 5ax^4 + 7x^3 - 7ax^2 + 9x + a$, em que $a$ é um número real. Sabendo que $p(x)$ é divisível pelo polinômio $q(x) = x^3 - 3x - 2$, determine todas as raízes de $p(x)$.

Se $q(x)$ divide $p(x)$, toda raiz de $q(x)$ é raiz de $p(x)$. Fatorando o divisor,
$$q(x) = x^3 - 3x - 2 = (x+1)(x^2 - x - 2) = (x+1)^2 (x-2)$$
logo $p(2) = 0$ e $p(-1) = 0$.

Determinação do parâmetro: substituindo $x = 2$,
$$p(2) = 128 + 192a - 32 - 80a + 56 - 28a + 18 + a = 170 + 85a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2$$
Substituindo $x = -1$,
$$p(-1) = -1 + 3a + 1 - 5a - 7 - 7a - 9 + a = -16 - 8a = 0 \quad\Rightarrow\quad a = -2$$
Os dois valores coincidem, e o polinômio fica
$$p(x) = x^7 - 6x^6 - x^5 + 10x^4 + 7x^3 + 14x^2 + 9x - 2$$

Divisão por q(x): como $q(x) = (x-2)(x+1)(x+1)$, dividimos $p(x)$ sucessivamente por $x - 2$, por $x + 1$ e de novo por $x + 1$ pelo dispositivo de Briot–Ruffini.

Os três restos são nulos, o que confirma a divisibilidade, e o quociente é
$$p(x) = (x-2)(x+1)^2 \left( x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 6x + 1 \right)$$

Raízes do quociente: o polinômio $x^4 - 6x^3 + 2x^2 - 6x + 1$ é recíproco (coeficientes simétricos). Como $x = 0$ não é raiz, dividimos por $x^2$,
$$x^2 + \frac{1}{x^2} - 6\left( x + \frac{1}{x} \right) + 2 = 0$$
Com $t = x + \dfrac{1}{x}$, temos $x^2 + \dfrac{1}{x^2} = t^2 - 2$, e a equação vira
$$t^2 - 2 - 6t + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad t(t - 6) = 0 \quad\Rightarrow\quad t = 0 \ \text{ ou } \ t = 6$$

Para $t = 0$:
$$x + \frac{1}{x} = 0 \quad\Rightarrow\quad x^2 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \pm i$$

Para $t = 6$:
$$x + \frac{1}{x} = 6 \quad\Rightarrow\quad x^2 - 6x + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}$$

Portanto $p(x) = (x-2)(x+1)^2(x^2+1)(x^2 - 6x + 1)$, e as sete raízes são $2$, $-1$ com multiplicidade $2$, $i$, $-i$, $3 + 2\sqrt{2}$ e $3 - 2\sqrt{2}$.

Resposta: $a = -2$; raízes de $p$: $-1$ com multiplicidade $2$, $2$, $i$, $-i$, $3 + 2\sqrt{2}$ e $3 - 2\sqrt{2}$